關于自聚焦光纖模式色散的幾何光學處理，是筆者的一項教學成果。由于本文的目的是給出一個完整的教學處理方案，因此這里還是要給出文獻的主要分析與結論。手動光纖模具焊接機

     公式指出，自聚焦光纖具有拋物線型的折射率分布，中心的折射率高，折射率沿著半徑逐漸減少。因此進入自聚焦光纖的光線趨向于向軸線彎曲，即光線圍繞著軸線擺動。由于對稱性，我們只討論子午面內光線的軌跡，在子午面z-x平面內，折射率可以表示成

    其中α2=2Δ/a2。

    將上式代入光線方程，并考慮傍軸光線近似，得

    將自聚焦光纖內的傍軸光線再分成近軸光線和遠軸光線。所謂近軸光線就是擺動的光線離軸線不遠，即α2x2?1，可以有近似則式可以近似成

    顯然，公式是一個典型的簡諧振動方程，其通解為

    其中C和φ是積分常數，分別代表光線擺動的幅度和相位。式(11)表明，近軸光線是周期性圍繞光軸正弦擺動的，α是擺動的空間頻率。可以看出所有近軸光線具有相同的空間周期2π/α，即近軸光線是周期性聚焦的，如圖5所示。根據費馬原理，從軸線A點發出的所有近軸光線都將聚焦于B點，A點和B點之間的近軸光線是等光程的，不會引起時間差。換句話說，只考慮近軸光線，無法計算出模式色散，模式色散來源于遠軸光線，這就是筆者將自聚焦光纖的傍軸光線分成近軸光線和遠軸光線的原因。手動光纖模具焊接機

    圖5 自聚焦光纖中的近軸光線與遠軸光線

可以預言，由于自聚焦光纖光線的這種聚焦特性，模式色散只來源于遠軸光線，相較于階躍折射率多模光纖光線根本沒有聚焦特性，自聚焦光纖的模式色散顯然比起階躍折射率多模光纖要小很多，這在隨后的討論中將被證實。手動光纖模具焊接機

在討論遠軸光線時，利用泰勒展開，保留到αx的二階項，公式(9)變成

    下面我們用微擾方法討論式(12)。考慮遠軸光線仍具有正弦擺動特性，但是空間頻率有所不同

    將式(13)代入式(12)，得到

    其中遠軸光線的空間周期變成2π/σ，不是常數。因此在計及遠軸光線后，各光線不再可以周期性聚焦，存在著時間差。從式(14)可見，遠軸光線的空間頻率與近軸光線有差別，隨著擺動幅度C的不同而不同。最遠的遠軸光線幅度為a，則遠軸光線的最大空間頻率滿足手動光纖模具焊接機

    或者

    可見，由于αa?1，遠軸光線的空間頻率和近軸光線的空間頻率還是十分接近的與α2a2相差α4a4，這是一個非常小的量。當忽略α4a4時，遠軸光線還原為近軸光線，模式色散將無法計算。或者說在計算光程差(或者時延差)時近似展開至少要保留到α4a4項。

令最大模式的對應光線軌跡函數為手動光纖模具焊接機

    x=asinσmaxz

    計算最大模式傳輸L距離后的光程

    將上式被積函數做泰勒展開，保留到α4a4項，則式(18)變為

    式(19)的后一積分項在積分跨越2π/σmax點時為零，則

    由光程差與時間差的關系，自聚焦光纖的模式色散為

    這個結果與WKBJ近似法計算的結果完全一致[1,2]。將n1=1.500和n2=1.489代入式(21)，得Δτmax=0.25ns/km，比階躍折射率多模光纖小兩個數量級。

    總結一下第1節的主要結論：(1)近軸光線近似與費馬原理預計的等光程性等價，不能用近軸近似結果來計算自聚焦光纖的模式色散； (2)自聚焦光纖的模式色散來源于遠軸光線，利用遠軸近似可以得出自聚焦光纖模式色散的正確結果； (3)由于聚焦特性的不同，自聚焦光纖的模式色散比階躍折射率多模光纖小兩個數量級。手動光纖模具焊接機